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5.5: Movimiento browniano multivariado (resumen) - Biología


Hay al menos cuatro métodos para probar una correlación evolutiva entre caracteres continuos: prueba de razón de verosimilitud, selección del modelo AIC, PIC y PGLS. Cualquiera de estas son buenas opciones para probar la presencia de una correlación evolutiva en sus datos.

1: También podríamos querer realizar una regresión lineal, que está relacionada con el análisis de correlación pero es distinta. Mostraremos ejemplos de regresión filogenética al final de este capítulo.

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2: Aunque la distribución conjunta de todas las especies para un solo rasgo es normal multivariante (ver capítulos anteriores), los cambios individuales a lo largo de una rama particular de un árbol son univariados.

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3: Otra forma de pensar en la regresión a través del origen es pensar en pares de contrastes en cualquier nodo del árbol como vectores bidimensionales. Calcular una correlación vectorial equivale a calcular una regresión forzada a través del origen.

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Referencias

Felsenstein, J. 1985. Filogenias y el método comparativo. Soy. Nat. 125: 1-15.

Garland, T., Jr. 1992. Pruebas de tasa de evolución fenotípica utilizando contrastes filogenéticamente independientes. 140: 509–519.

Hansen, T. F. 1997. Selección estabilizadora y análisis comparativo de la adaptación. Evolución 51: 1341-1351.

Hohenlohe, P. A. y S. J. Arnold. 2008. MIPoD: Un marco de prueba de hipótesis para la inferencia microevolutiva a partir de patrones de divergencia. 171: 366–385.

Revell, L. J. y L. Harmon. Prueba de hipótesis genéticas cuantitativas sobre la matriz de tasas evolutivas para caracteres continuos. Evol. Ecol. Res. 10: 311–331.


¿Es un vector de movimientos brownianos independientes un movimiento browniano multivariado?

Dado un espacio de probabilidad filtrado $ ( Omega, mathcal, mathcal_, P) $:

Si $ B_1, B_2, dots, B_m $ son todos reales $ mathcal_t $ Mociones brownianas, conjuntamente independientes. ¿Es el vector resultante $ B = (B_1, B_2, dots, B_m) $ an $ mathcal_t $ $ m $ - movimiento browniano dimensional o simplemente natural?

A mí me parece que no puedo concluir que $ B_t - B_s $ sea independiente de $ mathcal_s $ aunque todos los componentes sean.

De hecho $ P (-B_ <1, s> in Lambda_1 >, dots, <>-B_ in Lambda_m >, A) $ para $ Lambda_i $ un conjunto de borel, y $ A in mathcal_s $ no se puede factorizar, porque todos los eventos solo son independientes por pares con $ A $.

¿Me estoy perdiendo algo o estoy en lo correcto?

Para resumir, si $ X $ y $ Y $ son independientes, y también por pares independientes de un álgebra sigma $ mathcal$, Necesito que $ sigma (X, Y) $ independiente de $ mathcal$ para factorizar las probabilidades. O en otras palabras, un vector aleatorio cuyos componentes son independientes de un álgebra sigma no es necesariamente independiente en sí mismo.


Sección 3.2: Propiedades del movimiento browniano

La idea central de este ejemplo es que el movimiento del objeto se debe a la suma de un gran número de fuerzas aleatorias muy pequeñas. Esta idea es una parte clave de los modelos biológicos de evolución bajo el movimiento browniano. Vale la pena mencionar que, aunque el movimiento browniano implica un cambio que tiene un fuerte componente aleatorio, es incorrecto equiparar los modelos de movimiento browniano con modelos de deriva genética pura (como se explica con más detalle a continuación).

El movimiento browniano es un modelo popular en biología comparada porque captura la forma en que los rasgos podrían evolucionar en una gama razonablemente amplia de escenarios. Sin embargo, quizás la razón principal del predominio del movimiento browniano como modelo es que tiene algunas propiedades estadísticas muy convenientes que permiten análisis y cálculos relativamente simples en árboles. Usaré algunas simulaciones simples para mostrar cómo se comporta el modelo de movimiento browniano. Luego enumeraré las tres propiedades estadísticas críticas del movimiento browniano y explicaré cómo podemos usar estas propiedades para aplicar modelos de movimiento browniano a árboles comparativos filogenéticos.

Cuando modelamos la evolución usando el movimiento browniano, normalmente estamos discutiendo la dinámica del valor medio del carácter, que denotaremos como $ bar$, en una población. Es decir, imaginamos que puede medir una muestra de los individuos en una población y estimar el valor medio promedio del rasgo. Denotaremos el valor medio del rasgo en algún momento t como $ bar(t) $. Podemos modelar el valor medio del rasgo a través del tiempo con un proceso de movimiento browniano.

Los modelos de movimiento browniano se pueden describir completamente mediante dos parámetros. El primero es el valor inicial del rasgo medio poblacional, $ bar(0) $. Este es el valor medio del rasgo que se ve en la población ancestral al inicio de la simulación, antes de que ocurra cualquier cambio de rasgo. El segundo parámetro del movimiento browniano es el parámetro de tasa evolutiva, σ 2. Este parámetro determina qué tan rápido caminarán los rasgos aleatoriamente a través del tiempo.

En el núcleo del movimiento browniano está la distribución normal. Es posible que sepa que una distribución normal se puede describir mediante dos parámetros, la media y la varianza. Bajo el movimiento browniano, los cambios en los valores de los rasgos durante cualquier intervalo de tiempo siempre se extraen de una distribución normal con media 0 y varianza proporcional al producto de la tasa de evolución y el período de tiempo (varianza = σ 2 t ). Como mostraré más adelante, podemos simular el cambio en el modelo de movimiento browniano extrayendo distribuciones normales. Otra forma de decir esto de manera más simple es que siempre podemos describir cuánto cambio esperar bajo el movimiento browniano usando distribuciones normales. Estas distribuciones normales para los cambios esperados tienen una media de cero y se ensanchan a medida que el intervalo de tiempo que consideramos se alarga.

Algunas simulaciones ilustrarán el comportamiento del movimiento browniano. La figura 3.1 muestra conjuntos de movimiento browniano ejecutados en tres períodos de tiempo diferentes (t = 100, 500 y 1000) con el mismo valor inicial $ bar(0) = 0 $ y parámetro de tasa σ 2 = 1. Cada panel de la figura muestra 100 simulaciones del proceso durante ese período de tiempo. Puede ver que los valores de las propinas se ven como distribuciones normales. Además, la variación entre ejecuciones separadas del proceso aumenta linealmente con el tiempo. Esta variación entre ejecuciones es mayor en los intervalos de tiempo más largos. Es esta varianza, la variación entre muchas ejecuciones independientes del mismo proceso evolutivo, lo que consideraremos a lo largo de la siguiente sección.

Figura 3.1. Ejemplos de movimiento browniano. Cada gráfico muestra 100 réplicas de movimiento browniano simulado con un valor inicial común y el mismo parámetro de velocidad. σ 2 = 1. Las simulaciones se realizaron en tres tiempos diferentes: (A) 10, (B) 50 y (C) 100 unidades de tiempo. La columna de la derecha muestra un histograma de la distribución de los valores finales para cada conjunto de 100 simulaciones. Imagen del autor, se puede reutilizar bajo licencia CC-BY-4.0.

Imagine que ejecutamos un proceso de movimiento browniano en un intervalo de tiempo determinado muchas veces y guardamos los valores de los rasgos al final de cada una de estas simulaciones. Entonces podemos crear una distribución estadística de estos estados de carácter. Puede que no sea obvio a partir de la figura 3.1, pero las distribuciones de los posibles estados de carácter en cualquier momento de una caminata browniana son normales. Esto se ilustra en la figura 3.2, que muestra la distribución de rasgos de 100.000 simulaciones con σ 2 = 1 y t = 100. Los caracteres de punta de todas estas simulaciones siguen una distribución normal con una media igual al valor inicial, $ bar(0) = 0 $, y una varianza de σ 2 t = 100 .

Figura 3.2. Finalizar los valores de caracteres de entre 100.000 simulaciones de movimiento browniano con $ bar(0) = 0$ , t = 100, y σ 2 = 1. El panel (A) muestra un histograma del resultado de estas simulaciones, mientras que el panel (B) muestra un gráfico Q-Q normal para estos datos. Si los datos siguen una distribución normal, los puntos de la gráfica Q-Q deben formar una línea recta. Imagen del autor, se puede reutilizar bajo licencia CC-BY-4.0.

La figura 3.3 muestra cómo el parámetro de tasa σ 2 afecta la tasa de propagación de las caminatas brownianas. Los paneles muestran conjuntos de 100 simulaciones de movimiento browniano ejecutadas en 1000 unidades de tiempo para σ 2 = 1 (Panel A), σ 2 = 5 (Panel B) y σ 2 = 25 (Panel C). Puede ver que las simulaciones con un parámetro de tasa más alto crean una mayor dispersión de valores de rasgos entre las simulaciones durante el mismo período de tiempo.

Figura 3.3. Ejemplos de movimiento browniano. Cada gráfico muestra 100 réplicas de movimiento browniano simulado con un valor inicial común y el mismo intervalo de tiempo t = 100. El parámetro de tasa σ 2 varía entre los paneles: (A) σ 2 = 1 (B) σ 2 = 10 y (C) σ 2 = 25. La columna de la derecha muestra un histograma de la distribución de los valores finales para cada conjunto de 100 simulaciones. Imagen del autor, se puede reutilizar bajo licencia CC-BY-4.0.

Si dejamos $ bar(t) $ sea el valor de nuestro carácter en el tiempo t, entonces podemos derivar tres propiedades principales del movimiento browniano. Enumeraré los tres y luego los explicaré uno por uno.

  1. $ E [ bar(t)] = bar(0)$
  2. Cada intervalo sucesivo de la "caminata" es independiente
  3. $ bar(t) sim N ( bar(0), sigma ^ 2 t) $

Primero, $ E [ bar(t)] = bar(0) $. Esto significa que el valor esperado del personaje en cualquier momento t es igual al valor del carácter en el momento cero. Aquí el valor esperado se refiere a la media de $ bar(t) $ sobre muchas réplicas. El significado intuitivo de esta ecuación es que el movimiento browniano no tiene "tendencias" y se desplaza por igual en direcciones tanto positivas como negativas. Si toma la media de una gran cantidad de simulaciones de movimiento browniano en cualquier intervalo de tiempo, probablemente obtendrá un valor cercano a $ bar(0) $ a medida que aumenta el tamaño de la muestra, esta media tenderá a acercarse cada vez más a $ bar(0)$ .

En segundo lugar, cada intervalo sucesivo de la "caminata" es independiente. El movimiento browniano es un proceso en tiempo continuo, por lo que el tiempo no tiene "pasos" discretos. Sin embargo, si prueba el proceso de vez en cuando t y luego otra vez en el momento t + Δt , el cambio que ocurra en estos dos intervalos será independiente el uno del otro. Esto es cierto para dos intervalos que no se superponen muestreados de una caminata browniana. Vale la pena señalar que solo los cambios son independientes, y que el valor de la caminata en el tiempo t + Δt - que podemos escribir como $ bar(t + Delta t) $ - no es independiente del valor de la caminata en el tiempo t , $ bar(t) $. Pero las diferencias entre los pasos sucesivos [p. Ej. $ bar(t) - bar(0) $ y $ bar(t + Delta t) - bar(t) $] son ​​independientes entre sí y de $ bar(0)$ .

Finalmente, $ bar(t) sim N ( bar(0), sigma ^ 2 t) $. Es decir, el valor de $ bar(t) $ se extrae de una distribución normal con media $ bar(0) $ y variación σ 2 t . Como señalamos anteriormente, el parámetro σ 2 es importante para los modelos de movimiento browniano, ya que describe la velocidad a la que el proceso deambula por el espacio de rasgos. La variación general del proceso es esa tasa multiplicada por la cantidad de tiempo que ha transcurrido.


Contenido

Un proceso estocástico St Se dice que sigue un GBM si satisface la siguiente ecuación diferencial estocástica (SDE):

El primero se usa para modelar tendencias deterministas, mientras que el último término se usa a menudo para modelar un conjunto de eventos impredecibles que ocurren durante este movimiento.

Por un valor inicial arbitrario S0 el SDE anterior tiene la solución analítica (bajo la interpretación de Itô):

La derivación requiere el uso del cálculo de Itô. Aplicar la fórmula de Itô conduce a

Si se toma la exponencial y se multiplican ambos lados por S 0 < displaystyle S_ <0>>, se obtiene la solución indicada anteriormente.

Se pueden derivar usando el hecho de que Z t = exp ⁡ (σ W t - 1 2 σ 2 t) < displaystyle Z_= exp left ( sigma W_- < frac <1> <2>> sigma ^ <2> t right)> es una martingala, y eso

Para derivar la función de densidad de probabilidad para GBM, debemos usar la ecuación de Fokker-Planck para evaluar la evolución temporal de la PDF:

donde δ (S) < displaystyle delta (S)> es la función delta de Dirac. Para simplificar el cálculo, podemos introducir una transformación logarítmica x = log ⁡ (S / S 0) < displaystyle x = log (S / S_ <0>)>, que conduce a la forma de GBM:

Entonces, la ecuación de Fokker-Planck equivalente para la evolución del PDF se convierte en:

Conduciendo a la nueva forma de la ecuación de Fokker-Planck:

Sin embargo, esta es la forma canónica de la ecuación de calor. que tiene la solución dada por el núcleo de calor:

Conectar las variables originales conduce al PDF para GBM:

Al derivar otras propiedades de GBM, se puede hacer uso de la SDE de la cual GBM es la solución, o se puede usar la solución explícita dada anteriormente. Por ejemplo, considere el registro de proceso estocástico (St). Este es un proceso interesante, porque en el modelo de Black-Scholes está relacionado con el retorno logarítmico del precio de las acciones. Usando el lema de Itô con F(S) = registro (S) da

Este resultado también se puede derivar aplicando el logaritmo a la solución explícita de GBM:

Tomando la expectativa se obtiene el mismo resultado que el anterior: E ⁡ log ⁡ (S t) = log ⁡ (S 0) + (μ - σ 2/2) t < displaystyle operatorname log (S_) = log (S_ <0>) + ( mu - sigma ^ <2> / 2) t>.

GBM puede extenderse al caso en el que existen múltiples trayectorias de precios correlacionadas.

Cada ruta de precios sigue el proceso subyacente

Para el caso multivariado, esto implica que

El movimiento browniano geométrico se utiliza para modelar los precios de las acciones en el modelo Black-Scholes y es el modelo más utilizado de comportamiento del precio de las acciones. [3]

Algunos de los argumentos para usar GBM para modelar los precios de las acciones son:

  • Los rendimientos esperados de GBM son independientes del valor del proceso (precio de las acciones), lo que concuerda con lo que esperaríamos en la realidad. [3]
  • Un proceso de GBM solo asume valores positivos, al igual que los precios reales de las acciones.
  • Un proceso de GBM muestra el mismo tipo de "aspereza" en sus trayectorias que vemos en los precios reales de las acciones.
  • Los cálculos con procesos GBM son relativamente fáciles.

Sin embargo, GBM no es un modelo completamente realista, en particular, se queda corto de la realidad en los siguientes puntos:

  • En los precios reales de las acciones, la volatilidad cambia con el tiempo (posiblemente estocásticamente), pero en GBM, se supone que la volatilidad es constante.
  • En la vida real, los precios de las acciones a menudo muestran saltos causados ​​por eventos o noticias impredecibles, pero en GBM, el camino es continuo (sin discontinuidad).

En un intento por hacer que GBM sea más realista como modelo para los precios de las acciones, se puede descartar la suposición de que la volatilidad (σ < displaystyle sigma>) es constante. Si asumimos que la volatilidad es una función determinista del precio y el tiempo de las acciones, esto se denomina modelo de volatilidad local. Si, en cambio, asumimos que la volatilidad tiene una aleatoriedad propia, a menudo descrita por una ecuación diferente impulsada por un movimiento browniano diferente, el modelo se denomina modelo de volatilidad estocástico.


Ver el vídeo: Movimiento browniano. Electroterapia (Diciembre 2021).